人们认识流形，先于知道它的名字。放大镜下的蚕丝不会被当成蛛网，因为它处处都像线段。在玻璃球、玉镯表面，蚂蚁看着附近都像小的圆盘。我们所观瞻过的太空，无处不像立方体的内部，三维张布，尽管不能由此推断宇宙的形状。数学上，流形（manifold）正是指一类广泛的拓扑空间，它的局部总与某维数的欧氏空间相互同胚。
从庞加莱（Henri Poincaré）为之奠基的时代起，拓扑学就致力于流形的分类。维数从此造成关键的影响。百余年过去，今天的我们知道有一道认识的分水岭，横亘三维、四维之间。低维这侧是大体清晰的理论可计算图景，高维之外是原则上不可能解决的、更辽阔的未知。
本文打算以分类课题为叙事，介绍三维流形的几何化纲领，并且提及它所影响的低维拓扑在后来的重要发展。