Hu Qiya
Institute of Computational Mathematics, CAS

计算调和映射来源于一类约束极小化问题。该极小化问题中的目标泛函可以是向量场的标准能量泛函, 而向量场的约束是圆周或球面。这类约束极小化问题的Euler-Lagrange方程是一复杂的非线性方程, 其解称为调和映射。
调和映射有广泛的应用背景, 如:
(i) 液晶(Oseen-Frank模型);
(ii) 微磁(Landau-lifshitz方程);
(iii) 图像处理(p-调和流)。

计算调和映射的主要困难在于:
(a) 非凸性(约束是非凸的);
(b) 非正则性(解可能是不连续的);
(c) 非唯一性(解可能有无穷多个)。

目前已有一些相关的数值(迭代)方法:
1. Alouges’投影方法
该算法(由当前数据得到下一个数据)可描述为:
步1. 计算一个落在圆(或球)外的过渡场, 使能量下降;
步2. 将该过渡场投影到圆(或球)上。
该算法计算量小, 但不能推广到更一般目标泛函的情形。
2. Landau-lifshitz方程的投影方法(鄂维南, 王小平)
在该算法中, Alouges’投影方法的步1被修正(归功于零阶项的存在)。
该方法可推广到具更复杂目标泛函的时间依赖问题。
3. 算子分裂方法(R. Glowinski, 林平等)
先将热流方法与罚方法相结合, 把原问题转化为无约束的时间依赖问题, 然后用算子分裂方法求解. 该方法可推广到更一般目标泛函的情形。

挑战:
怎样设计一个便宜的迭代方法计算调和映射(对具一般目标泛函的时间无关问题)?