Year:    2012

CAM-Net Digest, Vol. 9 (2012), Iss. 14 : p. 10

Abstract

"美国科学史家萨顿认为，秦九韶是“他那个民族，他那个时代最伟大的数学家之一”，但他也是备受时代忽视的天才，其传世著作传抄了六百年才印刷出版。"
杭州市西湖区西溪路（浙江大学西溪校区与玉泉校区之间，靠近西溪校区）有一座石桥，叫道古桥。始建于南宋嘉熙年间（1237-1241），初名西溪桥。南宋咸淳初年《临安志》有载：“‘西溪桥’，本府试院东，宋代嘉熙年间道古建造”。这个造桥的道古不是别人，正是南宋大数学家秦九韶，道古是他的字。
秦九韶（1202或1208-1261）祖籍山东，出生在四川，其父中过进士，1219年调任首都临安（杭州），全家住在西溪河畔。原来，刚好在九韶出生前一年，临安发生了一场著名的大火，烧了三天三夜，烧掉太庙、三省、六部、御史台等，受灾居民达三万五千多家，部分朝廷命官及家眷便迁居当时属于郊外的西溪河畔，秦家来临安后也住那里。
九韶自幼聪颖好学，兴趣广泛，他的父亲一度出任秘书少监，掌管图书，其下属机构设有太史局，这使他有机会博览群书，学习天文历法、土木工程和数学、诗词等。他在故乡曾为义兵首，有着领兵打仗的才能。1231年考中进士，先后在湖北、安徽、江苏、广东等地为官。1238年，九韶回临安丁父忧（为父奔丧），见河上无桥，两岸人民往来很不便，便亲自设计，再通过朋友从府库得到银两资助，在西溪河上造了这座桥。
桥建好后，原本没有名字，因桥建在西溪河上，习惯上被叫作“西溪桥”。直到元代初年，另一位大数学家、游历四方的北方人朱世杰（1249-1314）来到杭州，才倡议将“西溪桥”更名“道古桥”，以纪念造桥人、他所敬仰的前辈数学家秦九韶，并亲自将桥名书镌桥头。
道古桥一直存在到新千年之交（笔者在附近居住了19年，历史上有无重建不得而知），因为西溪路扩建改造，原先的桥和溪流才被夷（填）为平地（曾经有过的道古桥居委会也随之消失），并建起高楼大厦，诸如国际商务中心、浙江省国土资源厅和黄龙世纪雅苑，只留一个公交车站名道古桥（据说还有地图上未显示的道古桥路）。
2005年，道古桥附近天目山路南侧西溪支流沿山河上修建了一座人行石桥（在杭大路的马登桥和黄龙路的沿山河桥之间，离开道古桥原址约100米，比原先的长且宽阔）。 笔者近日实地勘察，此桥跨河而建，两岸垂柳披挂，风景优美，且闹中取静，但至今尚未命名。故突发联想，建议将其复名为道古桥。
数学大略
1244年，秦九韶任建康府（南京）通判期间，因母丧离任，回浙江湖州守孝三年。正是在湖州守孝期间，秦九韶专心研究数学，完成了二十多万字的巨著《数学九章》（1247），名声大振。加上他在天文历法方面的丰富知识和成就，曾受皇帝（宋理宗赵昀）召见。他在皇帝面前阐述自己的见解，并呈奏稿和“数学大略”（即《数学九章》）。可以说，秦九韶是第一个受皇帝接见的中国数学家。几年以后，河北的李冶也曾三度被忽必烈召见。
《数学九章》分九卷（类），每类九个问题，其中最重要的成果无疑要数第一卷大衍类的“大衍总数术”和第九卷“市易类”的“正负开方术”。“开方正负术”或“秦九韶算法”给出了一般n次代数方程正根的解法，系数可正可负。此类方程求解原本需经n(n+1)/2次乘法和n次加法，秦九韶将其转化为n个一次式的求解，只需n次乘法和n次加法，他并给出了最高10次21个方程的例子。即便在计算机时代的今天，秦九韶算法仍有重要的意义。
“大衍总数术”给出了孙子定理的一般表述。大约在公元四五世纪成书的《孙子算经》里有所谓的“物不知数”问题。即“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何”，“答曰二十三”。换句话说，孙子只是给出了一个特殊例子。而在江苏淮安的民传说里，这个故事可溯源到公元前二三世纪西汉名将韩信点兵的故事。
话说秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信率兵与楚军交战。苦战一场，汉军死伤数百，遂整顿兵马返回大本营。当行至一处山坡，忽报楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。此时汉军已十分疲惫，韩信令士兵3人一排，结果多出2名；接着令5人一排，结果多出3名；再令士兵7人一排，又多出2名。韩信当即宣布：我军1073名勇士，敌人不足五百。果然士气大振，一举击败了楚军。
用现代数学语言来表述“大衍总数术”就是：设有k个两两互素的大于1的正整数m，其乘积为M，则对任意k个整数a，存在唯一不超过M的正整数x，x被各个m相除所得余数依次为a。秦九韶并给出了求解的过程，为此他发明了“辗转相除法”（欧几里得算法）和“求一术”。后者是指，设a和m是互素的正整数，m大于1，可以求得唯一的正整数x，使得a和x的乘积被m除后余数为1。
遗憾的是，由于古代中国没有素数的概念，且当时的用途并非在理论上，而主要用于解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题，秦九韶对他发现的定理没有给出严格的证明。但对求解型的定理来说，这个并不十分重要。实际上，他还允许模非两两互素，并给出了可靠的计算程序将其化为两两互素的情形。此外，秦九韶还给出了海伦公式（已知三角形的三条边长求面积）的等价形式。
享誉国外
1801年，数学王子高斯的名著《算术研究》（第2篇第7节）里，也给出了上述结果，但他不知。直到1852年，秦九韶的结果和方法被英国传教士伟烈亚力（与清代数学家李善兰合作译完欧几里得《几何原本》）译介到欧洲，并被迅速英文转译成德文和法文，引起了广泛的关注。至于何时何人命名了中国剩余定理，仍是个未解之谜，但应不晚于1929年。
严格来讲，孙子定理应称为孙子-秦九韶定理，或秦九韶定理。据先师潘承洞教授分析，西方人之所以称其为中国剩余定理，是因为古代中国数学家注重计算，缺乏理论建树，因而是一种轻视。无论如何，它都可以说是中国人发现的最具世界性影响的定理，是中外任何一本基础数论教科书不可或缺的，同时也被拓广到另一数学分支——抽象代数里面。此外，还被应用到密码学、哥德尔不完全性定理的证明，以及快速傅里叶变换理论等诸多方面。
集合论的创始人、德国大数学家康托尔赞扬秦九韶是“最幸运的天才”，此前法国大数学家拉格朗日也是这样称赞牛顿的。拉格朗日认为，发现万有引力定律只有一次机会。有着“科学史之父”美誉的美国科学史家萨顿则认为，秦九韶是“他那个民族，他那个时代最伟大的数学家之一”。2005年，牛津大学出版社出版了《数学史，从美索不达米亚到现代》，该书内容提要仅提及12位数学家，秦九韶是唯一的中国人。
秦九韶造桥的故事，堪与英国数学家牛顿造桥的故事媲美。现今剑桥大学的皇后学院内，流经的剑河上有一座桥叫数学桥，只因传说原桥设计师是17世纪的数学家牛顿。据称牛顿造桥时没用到一根钉子，后来有好事者悄悄把桥拆下来，发现真是这样，却再也无法安装回去，只好在原址重新造了一座桥，至今仍是一处名胜，可以说是到访剑桥旅客的必游之地。
相比之下，道古桥的故事不仅更为古老（比牛顿早四个世纪），且与两位古代大数学家有关（可惜当年宣传甚少，甚至杭州多数数学工作者都不知道，道古即秦九韶）。如果得以（重新）命名，酌情在桥头设立一块石碑（此建议不久被杭州市政府采纳，并请数学家王元先生题写了桥名），必将为杭州这座历史文化名城增添一处不可多得的人文景观，会吸引更多的青少年热爱数学和科学。
道德污点
必须指出的是，由于秦九韶的学术成就未被同代人认识，加上一些不好的传闻和描述，称其贪赃枉法、生活无度，甚至犯有人命、非复人类，他在晚年后世成了一个有争议的人物。所有宋史和地方志都未为秦九韶列传，他的名字和桥名时隐时现，后裔也下落不明。不仅中文数论教科书里不出现他的名字，中国校园里也只张贴或雕塑祖冲之的像，甚至英国BBC制作的秦九韶专题片也渲染他的道德污点。
经笔者多方求证和讨教，得知有关秦九韶的传闻主要有两个出处，其内容大有互通。福建词人刘克庄《后村先生大全集》中的《缴秦九韶知临江军奏状》（1260）在前，湖州文人周密《癸辛杂识·续集》中的《秦九韶》（共两页，癸辛是杭州的街名）在后，后者曾被《四库全书》列入“小说家之类”流传。
到了清代，学者院元、焦循、陆心源等人相继批驳周密，指其造谣诽谤，始有人为秦九韶列传。而刘克庄生前，即被认为谀词谄语，连章累牍，为人所讥。1842年，《数学九章》由历算名家宋景昌校订后第一次印刷出版，结束了600年的传抄史。之前，其抄本先后被收入《永乐大典》和《四库全书》。也是在传抄过程中，被明末戏剧家王应遴定名为《数学九章》。从这个意义上，《数学九章》堪与荷马史诗媲美。
需要指出的，贾似道和吴潜是南宋两位结怨的宰相，刘克庄和秦九韶分别与两人过从甚密（吴是湖州人）。或许，秦九韶从吴潜赠送的地基上建起的房子有些奢华，引得落魄文人周密的嫉妒。特别是，周密是湖州本地人而秦九韶是异乡人。这让我想起造纸术的发明人蔡伦，他和秦九韶在科学、技术上的成就在中国古代无人可以匹敌。蔡伦因为发明造纸术被封侯，晚年却在宠爱他的皇太后过世后被政敌毒死。还有法国数学家拉普拉斯，因政治上得宠，也被讽为阿谀奉承的势利小人。
值得一提的是，《数学九章》里有一幅著名的插图，是用来计算图中的宝塔塔尖高度的，通过观察角度的调整和正切函数的运用，便可以求得。这座宝塔与湖州城内的唐代古寺飞英寺里的飞英塔造型相似，此塔内是石塔外是砖木塔，因为塔中有塔而别具一格，属于全国重点文物保护单位。虽然内塔和外塔分别建于唐代和北宋年间，但在12世纪前后遭到破坏，现在的塔重建于13世纪30年代，刚好在秦九韶寓居湖州之前。
最后，我想谈谈秦九韶为《数学九章》所作的自序（他还为每卷各写了一首序诗）。他在开头提到，周朝数学便属“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）之一。学者和官员们，历来重视、崇尚数学。人们因为要认识世界的规律，产生了数学。从大的方面说，数学可以认识自然，理解人生；从小的方面说，数学可以经营事务，分类万物。秦九韶坚信，世间万物都与数学相关。
这也是数学吸引秦九韶的地方，他向学者、能人求教，深入探索数学之精微。“我在青少年时代曾随父亲到过都城临安，有机会访问国家天文台的历算家，向他们学习历算。此外，我还从隐居的学者那里学习数学。”其时，元人军队入侵四川，九韶有时却不得不在战乱中长途跋涉，可是他仍不忘钻研数学。
与此同时，秦九韶也感叹，数学家的地位和作用，而今不被人们所认识，甚至当权人士对此状况也听之任之，这里他主要指的是纯粹数学和暂时无法用到的方法技巧。他认为，数学这门学问遭到鄙视，算学家只被当做工具使用，这就犹如制造乐器的人，仅仅只能拨弄出乐器的声音。“原本我想要把数学提升到哲理（道）的高度，只是实在太难做到了。”由此我们可以推断，这是一位有思想、有品位的人，与传言中的秦九韶似乎难以相符。