Year:    2011

CAM-Net Digest, Vol. 8 (2011), Iss. 7 : p. 7

Abstract

作者： 姜靖
“我不想在采访中只谈个人，希望有机会介绍我所研究课题的历史发展过程，并附带介绍一下我的相关工作。”得到记者肯定回答后，段海豹才“勉强”接受采访。“数学应该追溯起源，面向未来。”段海豹说。

中国科学院数学与系统科学研究院段海豹的研究成果“舒伯特簇的乘法法则”获得2010年度国家自然科学奖二等奖。

用代数拓扑学方法解决了舒伯特演算的根本性问题

对于段海豹的这项工作，美国《数学评论》评价道，该项工作解决了“相交理论的一个根本性问题”,是对“相交理论的重要贡献”。

说起1+1为什么等于2？大家会联想到被誉为数学皇冠上的明珠“哥德巴赫猜想”。而哥德巴赫猜想只是“希尔伯特（Hilbert）23个问题”中第8问题的子问题之一。

“早在1900年，有着‘数学世界的亚历山大’之称的数学家希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个重要的问题， 即‘希尔伯特数学问题’。对20世纪数学科学的全面发展，产生了深远影响，成为许多数学家们竞相研究的焦点。”段海豹说。

“舒伯特(Schubert) 计数演算的严格基础” 是希尔伯特第15问题，也是代数几何学的一个重要主题。到了1950年，它的理论基础已被数学大师范·德瓦尔登和安得列·韦依等人严格化的“相交理论”所奠定。

然而，寻求舒伯特演算公式的各种尝试，已有百多年的历史，为许多权威文献和作者所关注，被称为舒伯特演算“长期悬而未解”的“主要焦点”和 “根本性问题”。段海豹在他的工作中，发展了代数拓扑学的方法，对于所有舒伯特簇的乘法演算，获得了统一的计算公式，解决了舒伯特演算的根本性问题。

“仅从第15问题的题目中，即可看出它的一个核心要求：什么是舒伯特演算？作为一种数学运算，它所遵循的演算法则或公式为何？”段海豹介绍道，舒伯特演算属于代数几何学，搞代数几何学的人一直想用代数几何的办法找到一个演算公式，但是到目前为止还未找到。

段海豹说：“我用代数拓扑的方法，跟前人完全不一样的方法找到了演算公式，解决了所有舒伯特簇的乘法演算，并且将这一结果应用于解答拓扑学和几何学中的课题。”

对于段海豹的这项工作，美国《数学评论》评价道，该项工作解决了“相交理论的一个根本性问题”,是对“相交理论的重要贡献”。

国际同行们于2009年总结道：根据法国科学院院士、美国科学院院士Borel (1953年)、美国科学院院士Bernstein和 Wolf奖获得者、美国科学院院士Gelfand (1973年)，以及段海豹 (2005年) 的工作，“舒伯特演算已经理解得十分透彻”。

“这个问题打动我，是因为早期数学家的传奇历史”

在整个采访过程中，段海豹反复强调数学的发展史：“介绍历史就是介绍这个工作的意义。”

“数学中有许多问题，有些经过了一二十年研究，就得以解答。有些是全局性的、涉及面广的问题，需要经历漫长的时间，更具挑战性，吸引着大家去探索……”

在整个采访过程中，段海豹反复强调数学的发展史：“介绍历史就是介绍这个工作的意义。”

求解多项式方程组是数学中一个历史悠久，且十分基本的问题，为许多实际问题所需要。19世纪初，以庞斯列、查勒斯、舒伯特为代表的一批几何学家开创了“相交理论”，试图直观且以几何方法来解决多项式方程组求解问题。他们的办法是，每一个多项式决定一张空间曲面，而多项式方程组的每个解，恰好是这些曲面的一个交点。“这就是‘相交理论’这个名称的来源。”从段海豹的口中，记者新“认识”了许多数学家。

“其实希尔伯特第15问题打动我，是因为早期相交理论开创者们的坎坷的工作经历。”段海豹首先提到的是庞斯列。

“庞斯列1812年毕业于法国高等理工大学后，加入了军队。作为一个军事工程师，参加了拿破仑对沙俄帝国的远征，战争失败后，在从莫斯科撤退的过程中被俘，被关押在位于西伯利亚的一个战俘营，在十分艰苦的环境中，仅靠上大学时学到的画法几何的知识，用取暖的木炭在墙上作图，他得到了一批相交理论的重要成果，如对偶原理、连续性原理、圆锥曲线的极和极线以及射影共轭调和，完成了《萨哈多夫备忘录》。萨哈多夫这个词就是关押他集中营的地名……”

段海豹认为，每一个时代都会涌现出一批“新数学、新方法”，其中绝大部分，不久又会被淘汰，周而复始，推陈出新。“对于数学工作者而言，需要面向未来，准确定位自己的研究课题和方向。”

段海豹举了牛顿的例子，17世纪，牛顿完成了名著《自然哲学中的数学原理》，在其中发明了微积分。这本著作起初很不容易读懂，许多地方也不严格，妨碍了它的普及和应用。到了19世纪，经过许多数学家们的共同努力，用了近一百年的时间，微积分的内容得以严格化、系统化、条理化，进入了大学讲堂，为越来越多的普通大众所理解，在这个基础上去做更多的事情，最终能够在今天的自然科学的众多领域，发挥它的各种作用。

“这也就是为什么数学工作一方面要检讨过去，同时还要着眼未来。”段海豹说。

希尔伯特不愧是一位有战略眼光的数学家，他能够从19世纪的许多数学工作中，敏锐地觉察到未来数学发展的契机和亮点，并以提出第15问题“舒伯特计数演算的严格基础”的方式，表达他对于19世纪相交理论的重视。

“20世纪代数几何学的成长历程，见证了他的前瞻性和洞察力。”段海豹说，Kluwer 出版社2001年版的《数学百科全书》在“舒伯特演算” 栏目中总结道：“澄清舒伯特计数演算是二十世纪代数几何学的一个重要主题。”W· Fulton 在他1993年的著作《相交理论》中回顾道： “在已往的两个世纪代数几何学的成功进程中，相交理论起着中心作用。”

舒伯特演算不只是一个历史悠久的课题，随着研究工作的深入，它与其它分支的本质联系，也日显清晰。值得称道的是微分拓扑学中著名的吴公式 (Wu formula)，吴文俊先生在上世纪40年代末，就是通过舒伯特演算的方法，发现了这个示性类理论中的基本公式。近来，舒伯特演算的工具，也开始在控制论中得到了应用。