Year:    2010

CAM-Net Digest, Vol. 7 (2010), Iss. 22 : p. 5

Abstract

北京师范大学概率论研究群体已有50余年的传统，经过严士健和王梓坤及几代人的努力，至2001年，已在交互作用粒子系统、测度值随机过程、马尔可夫过程的谱理论等方面取得系统的研究成果，并有相当的国际影响。这个仅有12人的团队，在国际上被称为“马氏过程的中国学派”或“北京学派”。
自2002年起，该群体得到国家自然科学基金委创新研究群体基金长达9年的资助。学术带头人、北京师范大学数学系教授陈木法回忆道，当年申请这一基金时，他一度认为他们这样的“小学科、小团队”不太可能获得国家重大项目的支持。“当得到资助的消息传来时，全体成员高兴的同时更多是感慨，须知当时我们处于非常的困难时期，这项资助真是雪中送炭。”陈木法说。
正是在该基金的支持下，这一团队以“探索与概率论相关的无穷维数学的理论基础，特别是寻求新的数学工具和方法”为主要目标，取得更大的研究成果和可喜的新进展。
无穷维给研究工具带来了巨大的挑战，许多在有限维非常有力的工具对无限维不再适用，需要探索和发展新的研究工具。然而，无穷维与有限维之间有着天然的联系，特别是与分析、几何、谱理论等紧密交融。在这一背景下，该群体发展了涉及多个领域的耦合方法、泛函不等式和斜卷积半群等代表性工具，且在马氏过程的稳定性、新型Harnack不等式及应用、测度值过程的遍历性、排队网络与反应扩散过程等方向的研究中取得了系统的成果，得到同行的大量引用。
马氏过程稳定性速度是群体研究的中心课题。“与先前马氏过程定性理论的研究不同, 我们从事的定量研究远为艰难，可视为马氏过程发展的新阶段。”陈木法说，其研究的范围是全方位的：离散或连续，无边界或带边界，凸或非凸边界，有限维或无穷维，遍历或非遍历，指数式或非指数式收敛等等，涉及概率、分析、几何、物理、排队网络等多个领域，获得各种稳定性的关系图、主特征值的对偶变分公式、显式判别法和显式估计等系统成果。
该群体的第二大成果是，在随机分析与几何领域，发展了耦合方法,建立了与维数无关的Harnack不等式；进一步应用到强Feller性、概率密度估计、各种超压缩性以及泛函不等式、传输不等式的研究。该方法比已有的分析与概率方法具有更广的适用范围。获得带边流形上第二基本型的渐近公式，刻画了该几何量所确定的反射扩散，过程的分析性质，引发了关于Neumann半群的一系列新成果；特别是对于非凸情形，给出了对数Sobolev不等式的显式判别条件。在流形的路径空间上构造了一大类带一般扩散系数的扩散过程；首次在跳过程的路径空间上建立了Poincaré不等式。
而在粒子系统与测度值分枝过程研究中，该团队证明了随机环境分枝粒子系统的极限定理，在此模型和仿射金融模型之间建立了联系。证明任何具有一阶矩的仿射过程都是正则的。证明了一般分枝机制的Dawson-Watanabe超过程分布的绝对连续性和超Lévy过程的瞬时传播性质。在带跳随机方程的Yamada-Watanabe判据、解的比较定理等问题的研究上取得了实质性进展，由此证明了义Fleming-Viot随机流的强存在性。在有限跳幅随机环境随机游动中找到了分枝结构，得到了若干极限定理。建立了几类测度值过程的极限定理、中偏差和大偏差原理。
创新成果的取得极大提高了我国概率论研究在国际上的地位。9年中，群体参与组织了中国概率统计年会、中美概率统计联合研讨会等会议，特别是群体组织了7届“马氏过程及相关论题”国际研讨会，吸引了来自近20个国家和地区的名家及大批中青年专家前来参会。群体还邀请了3位客座教授，为来自全国各地的研究生和青年教师开设前沿短课，邀请百余人次专家前来访问讲学，为推动我国概率论的发展做出了极大的努力。
此外，该群体与法国布尔戈尼大学、德国比勒菲尔德大学和加拿大McMaster大学开展了博士生联合培养计划，群体成员经常到国内其他大学和国外科研院所访问或参加学术会议。通过“请进来、走出去”，研究群体建立起与国内外同行合作交流的平台，奠定了进一步发展的基础。在前沿短课讲义的基础上，客座教授方诗赞和冯水分别出版了两本专著，至此，在施普林格出版社《概率论及其应用》丛书已出版的33本专著中，有3本书的作者来自这一群体。
据该群体成员介绍，带交互作用的无穷随机系统这一所研究的课题相关研究目前在国际上的竞争非常激烈，而该领域研究涉及多个学科和领域，靠单兵作战不可能完“因而，创新群体基金长达9年的资助，激发了群体成员拼搏进取的极高热情，我们团结协作，才有了今天的成果。”他们如是说。
群体名片
“概率论创新研究群体”：陈木法，王凤雨，李增沪，张余辉，毛永华，洪文明，王颖喆，张梅，邵井海，马宇韬，何辉。该群体围绕“探索与概率论相关的无穷维数学的理论基础，特别是寻求新的数学工具和方法”，在马氏过程稳定性速度、随机分析与几何和测度值过程等方面取得了相当数量的成果，其中不乏原创的新发现和新方法，被国际同行高度评价和大量引用。