Year:    2009

CAM-Net Digest, Vol. 6 (2009), Iss. 19 : p. 3

Abstract

张继平（北京大学数学数学科学学院）
前些年拜读过法国哲学家福柯的《词与物》，这是一本论述学科分类与演化之框架的名著。福柯开宗明义说到，“博尔赫斯作品的一段落，是本书的诞生地，本书诞生于阅读这个段落时发出的笑声，这种笑声动摇了我的思想（我们的思想）所有熟悉的东西，这种思想具有我们的时代和我们的地理的特征。这种笑声动摇了我们习惯于用来控制种种事物的所有秩序井然的表面和所有的平面，并且将长时间地动摇并让我们担忧我们关于‘同’与‘异’的上千年的做法。这个段落引用了“中国某部百科全书”，动物可以分为：一、属皇帝所有的；二、有芬芳香味的；三、驯顺的；四、乳猪；五、鳗螈；六、传说中的；七、自由行走的狗；八、包括在目前分类中的；九、发疯似的烦躁不安的；十、数不清的；十一、浑身有十分精致的骆驼毛刷的毛；十二、等等；十三、刚刚打破水罐的；十四、远看像苍蝇的”。这里所谓的“中国某部百科全书”是指阿根廷著名作家博尔赫斯在《约翰·威尔金斯的分析语言》一文中，假弗兰兹·库恩博士（《红楼梦》德文译者）之口，所引述的一本中国古代叫《天朝仁学广览》的百科全书，该书谈到了这种中国的动物分类法。实际上，《天朝仁学广览》并不存在，是心慕中国文化的博尔赫斯的虚构胡诌，但这个分类法的确在西方产生较大影响，也启发科学界的深刻思考。

马库斯·杜·沙陀是英国牛津大学的群论学家，也是很有名的科学普及专家。他很推崇‘中国某部百科全书’中的分类思想，他把上述动物分类法列在自己网页上。他说，分类是科学的大主题之一，在数学中更是如此。正像博尔赫斯的“中国百科全书”，数学家总是不断努力把他们的世界划分成可驯顺的部分并一一列出”。在过去的两个世纪中已经有两个伟大的数学分类结果。一个是19 世纪末得到的单复李群的分类，这对现代物理具有基本的重要性。另一个是20 世纪末完成的有限单群分类，所有的有限单群都被一一列出，这是20世纪最重要的数学成就之一。马库斯·杜·沙陀认为有限单群如博尔赫斯动物园的动物一样奇异。

2008 年5 月20 日，阿贝尔奖在挪威首都奥斯陆颁发。这个奖相当于数学诺贝尔奖， 两位群论学家汤普森（美国）和梯茨（法国）获奖并平分120 万美元奖金。他们的名字都和有限单群分类这一世纪大定理紧紧联系在一起。不仅有的单群以他们的名字命名——汤普森单群和梯茨单群，他们更是有限单群分类工作的向导和先锋。马库斯·杜·沙陀被邀请为这次颁奖撰写介绍文章。群论是研究对称性的科学，一个群代表着一种对称性。而对称性是科学与艺术上的中心概念，它无处不在。对称所揭示的物体本身的特性和它们之间的关系对我们观察和认识世界具有基本的重要性。对称性是良基因的重要标识；它能调控分子、晶体和病毒的行为；揭示组成物质世界的基本粒子的秘密；对称性对保持传递数据的完整性而用到的密码具有中心意义，而纠错码要用对称性来显示数据中是否有误；对艺术家，对称性也是中心主题，从建筑到音乐，从诗歌到油画，对称性都是结构创造性的基础；在我们人类的生存进化中对称性也具有关键作用。但是直到19 世纪我们才最终找到了回答什么是对称性这一问题的语言。这是由传奇的伽罗华的一篇论文开始的。伽罗华定义了群，他认为，像分子可分解成原子和整数可分解成素数之积，对称性可以由基本的对称体，即有限单群来组成，这些对称体可以罗列出来，因而对称性的“元素周期表”就可以绘制出来，这就是有限单群分类。今天我们知道，这个“元素周期表”即有限单群分类定理断言，有限单群可分为4大类：素阶单群，交代单群，李型单群和26 个散在单群。

有限单群分类是有限群理论的基本定理。整个二十世纪有限群理论主要是围绕有限单群分类而展开的。因此，有限单群分类定理真可谓是世纪大定理。从四个方面可知此定理之“大”，堪称迄今为止最庞大的数学定理。一是时间长久，从1832 年至1981年，有限单群分类工作用了差不多150 年的时间。而有限单群分类工作的攻坚战则开始于1950年代初，历时三十年，被称为“三十年战争”。二是参与者众多，来自全球几十个国家的几百位群论学家直接参与了有限单群分类的工作，其中有100 多位群论学家的论文是有限单群分类定理的不可或缺的组成部分。三是文章数多，在有限单群分类工作中，有2000多篇重要论文发表于几十种数学杂志。有限单群分类定理的证明由其中将近500篇论文组成，这些论文主要发表于1950 年至1980 年的“三十年战争”期间。四是篇幅巨大，就目前而言，有限单群分类定理的证明长达15000 多页。其中许多结果的证明长达一、二百页是相当普遍。费特－汤普森“奇阶群的可解性”的文章长255 页，占了1963年“太平洋数学杂志”第十三卷整一期的篇幅。而最近关于拟薄单群的补充证明长达1300页。

在有限单群分类的历史进程中，汤普森的贡献无人出其右。汤普森为有限单群分类
工作指明了方向，开辟了道路，找到了工具，提供了思想。1963 年，汤普森和费特的“奇阶群的可解性”的长文震惊了数学界，其后，汤普森完成的极小非可解单群的分类终使他在1970 年获得了菲尔兹奖。汤普森所创立的局部分析理论成为今天群论的主要支柱之一。在局部分析理论中，汤普森引入了最重要的子群——汤普森子群。对有限群G，通常，人们用P 表示G 的西罗p－子群，用J(P)表示P 的汤普森子群。汤普森证明，若p是奇素数，则G是p－幂零的充分且必要的条件是J(P)的中心子群Z(J(P))的正规化子是p－幂零的，这便是著名的汤普森p－幂零准则。这是群论中具有里程碑意义的重要结果，是有限单群分类等许多重要结果的基石。1989 年，我有幸跟随汤普森做博士后。由于我名字的汉语拼音的简拼ZJP正好是子群Z(J(P))中的三个字母，汤普森曾因此而鼓励我为此理论的发展作出自己的贡献。近二十年来，我一直在为此而不断努力。终于在2008年我证明了新的p－幂零准则，并开辟了有限群模表示论的新方向。这一成果也是我获得陈省身数学奖的研究工作之一。我应评奖委员会的要求撰写此短文，愿借此文感谢香港亿利达集团和陈省身数学奖评奖委员会，并表达我对汤普森老师的敬意。